L'abate Giovanni Costa nacque ad Asiago l'8 maggio 1737 nella casa vecchia dei conti Barbieri di Asiago in contrada San Rocco presso il ponte (dove oggi si trova una lapide commemorativa) da Cristiano Modesto che esercitava “l’industria della meccanica” cioè esercitava forse una modesta forma di artigianato tipica dell'economia locale dell'epoca, e da Maria Fabris tra i cui parenti si trovava chi “coltivava le scienze matematiche e le professioni liberali”. Probabilmente era un suo zio paterno, don Pier Modesto Costa (1692-1778) parroco di Mestrino, autore di una sorta di vocabolario “italo-cimbrico" pubblicato nel 1763.
C'erano quindi nella famiglia tradizioni e interessi culturali. Fin da piccolo Giovanni, ricevendo ad Asiago una buona istruzione elementare, dimostrò le sue doti d'ingegno che a dodici anni gli permisero l'ingresso, gratuito in considerazione del “tenue patrimonium”, nel Seminario di Padova. Fu uno studente brillante per tutto il corso di studi. Le note di profitto assegnate dai maestri delle varie discipline che si succedettero via via nel corso di studi furono sempre assai positive. Si fa costante cenno alla tenacia, alla prontezza della memoria e soprattutto alla singolare facilità nella composizione latina. “È ricorrente, specie nelle classi di Retorica, l'attestazione che nel Costa si distingueva già allora per sobrietà e densità un suo stile peculiare, che sembra colpire in modo particolare i docenti”.
Una volta ordinato sacerdote, per pochi anni insegnò nelle classi di Grammatica e di Retorica, ma ben presto le sue doti gli permisero di passare all'insegnamento nel corso di Accademia, un ciclo di studi superiori che “mirava a formare e affinare conoscenza e gusto della letteratura attraverso discussioni teoriche di arte poetica” sempre presso il Seminario di Padova.
Tale insegnamento durò per il Costa fino al 1791, ricevendo il titolo di Professore Emerito.
In quegli anni l'abate profuse il meglio del suo ingegno e gran parte della sua vita tranquilla e studiosa. Sono gli anni di una vasta opera di poeta originale in latino, di traduttore squisito e sensibile di poeti greci e moderni, sempre in lingua latina. Sono gli anni in cui il Costa fa parte come socio dell'Accademia Patavina di Scienze Lettere e Arti fino a divenire Direttore della Classe di belle lettere e due volte Presidente.
Manifestò familiarità e perfetta conoscenza delle istanze della cultura europea del secondo Settecento e pur vivendo in un ambiente che si potrebbe considerare provinciale, aveva una vastità dell'orizzonte culturale che sorprende ancor oggi.
Il mondo intorno a lui cambiava: partito da un'educazione classicistica, “percepì i turbamenti preromantici, attraverso l'esperienza neoclassica”.
Fu poeta latino degno del secolo aureo, tanto da tradurre in quella lingua non solo Pindaro dal greco, ma anche Pope, Thompson e Gray dall'inglese. Da una sua traduzione di Gray il Foscolo citò nel suo romanzo epistolare “Le ultime lettere di Jacopo Ortis” due emistichi latini. Le più voluminose raccolte di poesie latine del Costa sono i “Carmina” (1796) e “Lusus Poetici” (1812).
Dell'abate si racconta che, passando Napoleone per Padova, volle visitarlo nel suo studio. L'abate lo ricevette restando in piedi. Allora Napoleone scherzando gli disse: “Non mi offrite una sedia?” Al che il Costa rispose: “No, Generale, per voi non basta una sedia, occorre invece un trono”.
L'abate Giovanni Costa morì, onorato e compianto, a Padova il 28 dicembre 1816.
Ad Asiago è onorato con un busto marmoreo collocato nel Parco della Rimembranza.